比較的 反射率の高い対向壁の間でハンドクラップ（拍手１回）などの短音を 発生させると，対向壁間で多重反射が起こり，特定の音色のフラッターエコー （鳴き竜）が生じることはよく知られている．このフラッターエコーの周波数 成分は一定の周波数を保っている．しかし，反射率の高い壁・天井・床で囲ま れた室（整形残響室）内で短音を発生させたときには，その反射音の周波数は 時間に比例して直線的に上昇する．この事実は一般にはあまり知られていない． この反射音は，フラッターエコーと区別して「スウィープエコー」と名づけら れた．以下に，その生成機構について解説する．

図１の整形残響室（11m×8.8m×6.6m（高さ））内で短音を発生させたときに sweep音が知覚されることは，一人の研究員によって偶然 発見された．この研 究員がこの残響室の中を歩いているとき，靴音の残響音とは異なる，異質な音 が聞こえることに気付いた．手を叩くと更に明瞭にこの音が聞こえ，音の高さ が上昇していく様子が聞こえた．この音を収音し解析を行った結果，確かに反 射音の周波数が時間に比例して直線的に上昇するsweep音が観測された．図２ にそのスペクトログラムを示す．横軸が時間，縦軸が周波数を表す．同図から， 始めに約0.4秒の間に約1.5kHzまで上昇する第一のsweep音と，それに続いて比 較的 緩やかに周波数の上昇する複数のsweep音が観測される．前者は比較的エ ネルギーが大きいことから主sweep音と呼び，後者は副sweep音と呼ぶ．これら のsweep音の生成機構は、以下に述べるように、整数論の知見を利用すること により説明することができる。ただし、簡易化のため，室形状は立方体を仮定 した。

なお，[音を聞く]をクリックすると図２の音を聞くことができる．

[音を聞く]

図３は立方体室で生成される鏡像を表す．但し，音源（点音源）Sも受音点Rも 室の中心にあるものとし，この中心を座標原点にとる．室の寸法をLで表すと， 各鏡像の座標は(n_xL, n_yL, n_zL)で表される． 但し，n_x, n_y, n_zは正負の整数 である．この鏡像から受音点Rまでの距離dはピタゴラスの定理により，次式 (1)で表される．

反射パルス音が受音点Rに到達する時刻tは距離dを音速cで割ることにより次式(2)で表される．

禁止数が正の整数全体の1/6であるので、これを無視して考えると、３つの整 数の平方和Mは、近似的に全ての正の整数をとる．そして反射パルス音列は二 乗時間軸上で等間隔(L/c)²で並ぶことになる．すなわち，(n+1)番目とn番目の 反射パルス音との到達時刻t_n+1, t_nの二乗時間軸上での間隔は 次式(6)のように(L/c)²になる．

ここでパルス音列の周波数を考える． 等間隔パルス音列の周波数はパルス音列の時間間隔の逆数になる． そこで式(7)の反射パルス音間隔を短時間的には等間隔と近似し， 時間間隔の逆数がその基本周波数f(t_m)になると考えると次式(8)を得る． すなわち、基本周波数f(t_m)は、時間に比例して上昇する。 これが主sweep音の基本周波数となる．

前節では３つの整数の平方和Mが全ての正の整数をとると近似したが，実際に は禁止数のため反射パルス音が存在しない時刻がある．図４(a)はその様子を 示した例である．但し振幅は等振幅に正規化している．図４(b)はMが全ての整 数をとったときのパルス列を時間軸上で表したものであり，時間の経過ととも に単調にパルス列間隔が減少している．これに対し，図４(a)には禁止数のた めにパルスの欠落が生じている．この欠落は，禁止数に相当する時刻のパルス が図４(b)のパルス列に逆相で（図４(c)）加算されたものと考えることができ る．

式(5)に示した通り，禁止数は4^k(8m+7)　(k,m = 0, 1, 2, …)で表される．k = 0のとき，これは周期８の周期数列になる．すなわち，二乗時間軸上では， この禁止数は周期8(L/c)²で等間隔になる． この周期は主sweep音の周期(L/c)²の８倍なので， その周波数は主sweep音の1/8と上昇が緩やかになる．k = 1, 2, …, の場合は更に周期が長くなり，周波数の上昇は更に緩やかになる．こ のような禁止数の効果が副sweep音の生成機構と考えられる。

[1] M. R. Schroeder著，平野・野村共訳，"数論（上）"，コロナ社 (1995) pp. 127-128．
[2] 清原，古家，金田，"整形残響室内で知覚されるsweep音の生成機構"，信学技報（EA2000-19）．